logo
 
?

игра в казино теория

В рамках спецпроекта совместно с Прайм-Брокером EXANTE продолжает цикл научно-популярных статей «Математика бесконечностей и реальность финансов» кандидата физико-математических наук Виктора Аргонова о парадоксах теории игр и о неожиданных способах применить их в финансовых делах.

Задача о блуждании пьяницы возле бара, которую мы обсуждали в «Трейдерах и пьяницах», — задача смешная и удобная для иллюстрации такой важной математической абстракции, как случайное блуждание точки по прямой.

Но с давних времен движение пьяных волновало людей меньше, чем движение капиталов.

Именно финансовые задачи были исторически одними из первых в теории вероятностей.

Например, в еще 1650-х знаменитые ученые Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс начали исследовать так называемую задачу о разорении игрока.

Она имеет много разных формулировок, но мы сосредоточимся на одной из них — особенно парадоксальной. Но пока она идет, игрок имеет право бесплатно пить, есть, общаться с другими игроками и как-то иначе развлекаться за счет казино (ему не обязательно присутствовать рядом с крупье, который все делает честно).

Игрок покупает у казино M фишек, каждая из которых стоит $1 (, заплаченные за фишки, — его плата за участие в игре). Когда она падает решкой, он забирает одну из фишек игрока. Число фишек у казино не ограничено, так что разориться казино не может. Игра идет до тех пор, пока игрок не потратит все фишки. Эта задача почти совпадает с прошлой задачей о пьяницах.

Поэтому вероятность разорения игрока падает с ростом N по такому же степенному закону, как и вероятность возврата пьяницы.

Здесь тоже будут аномально затянувшиеся партии (полеты Леви), из-за которых среднее время разорения игрока бесконечно. Теперь задача максимально близка к задаче о пьяницах.

Единственное отличие в том, что игрок стартует не с нуля фишек, а с M. Медианное время составит лишь один ход (с вероятностью 1/2 на первом же ходе игрок получит решку).

Поэтому медианное время игры теперь другое: оно примерно пропорционально M². Но среднее ожидаемое время игры, согласно формулам, равно бесконечности. Если в казино придет не один и не два нищих, а 100, 1000 и больше, то примерно половина из них «отсечется» на первом ходу, но среди оставшихся найдутся «удачливые», которые представляют для казино немалую угрозу.

Подобно тому, как раньше среди пьяниц оказывался некий процент «авантюристов», которые надолго уходили от бара, так и теперь среди игроков есть некий процент «удачливых», игра которых может затянуться на сутки, месяцы и годы (длинные полеты Леви).